La Demostración
La demostración es una operación mental por la que, a
partir de verdades evidentes (o anteriormente demostradas) hacemos evidente una
verdad que hasta entonces no lo era.
Demostrar no es lo mismo que mostrar.
Pensemos en un triángulo equilátero. Si miramos sus
ángulos, veremos que son iguales. La igualdad de esos ángulos es un hecho
directamente percibido por nosotros: nos lo están mostrando nuestros ojos.
Sirviéndonos de algún instrumento de medida, podemos “comprobar” dicha igualdad, es decir
observar con más exactitud lo que a simple vista ya percibimos.
Si nos fijamos en otro triángulo equilátero, también
volveremos a encontrarnos con que todos sus ángulos son iguales entre sí.
¿Podemos decir entonces que todo triángulo que tenga sus
tres lados iguales, tiene también iguales sus tres ángulos?. Ciñéndonos a lo
que en realidad hemos logrado ver, lo único que podemos afirmar es que, en
todos los casos observados, la igualdad lateral y la angular han comparecido juntamente. Si son muchos los casos que
hemos observado, pensaremos que sería “mucha casualidad” que en todos ellos sin ninguna excepción, se haya dado
la coincidencia. Y sin embargo esta sospecha, aunque tiene cierto fundamento,
no pasa de ser una sospecha. Lo único que la podría confirmar, transformándola
en una certidumbre, es la demostración de
que la igualdad de los lados de un triángulo hace necesariamente que éste tenga
también iguales sus tres ángulos.
Para efectuar esta demostración, tal como realmente la
hacen los geómetras, no hay ninguna necesidad de emprender la aventura,
enteramente imposible, de examinar todos los casos posibles. Basta considerar
un solo caso. Ningún otro que se le sume añade nada a la fuerza de la
demostración.
En resumen: cuando se trata de hechos, la mostración es la
prueba que se refiere únicamente a su existencia, mientras que la demostración es, en cambio, la prueba
que se refiere a su necesidad.
Con todo lo anterior, podemos reformular nuestra
definición del siguiente modo: Demostración es la manera de probar las
necesidades mediatamente evidentes.
La reducción al absurdo
Nos interesa ahora considerar uno de los posibles modos de
demostrar: la reducción al absurdo.
Es un método indirecto que consiste en suponer, como hipótesis
de trabajo, lo contrario de lo que se quiere demostrar. Desde este punto
de partida y mediante silogismos u otros razonamientos, puede llegar un momento
en que obtengamos una conclusión totalmente absurda.
Si los razonamientos empleados son correctos, el hecho de
que la conclusión sea absurda implica necesariamente que el punto de partida
era erróneo. Pero recordemos que el punto de partida era lo contrario de lo
que queríamos demostrar. Por otro lado, es evidente que si una frase o idea es
falsa, su contraria tiene que ser verdadera, que es lo que queríamos probar.